各向同性弹性常数矩阵

https://zhuanlan.zhihu.com/p/97700824

其中i,j,k,l∈[1,3]

写成矩阵乘法形式就是：（把俺累坏了...）

注意：弹性常数矩阵的4个下标我用逗号,分隔开了，前两个逗号表示应力\sigma的下标，后两个逗号表示应变\varepsilon的下标

用Voigt标记

Cauthy应力，Cauthy应变都是对称滴！于是可以划去第7~9行和第7~9列！

现在想2点：

1）Cauchy应变是对称滴，并且“作用效果相同”。（举个例子：\varepsilon_4, \varepsilon_7对于\sigma_4的“贡献”同等，所以C_{44}=C_{47},同理，C_{45}=C_{48}, C_{46}=C_{49}...

2) 想想矩阵乘法，应力第4~6行本来是9+9个元素分别相乘再相加。现在变成6+6个元素分别相乘再相加，结合1)得到的C_{44}=C_{47}, C_{45}=C_{48}, C_{46}=C_{49}应变应该×2！！！（所谓“工程剪切应变”，本质上就是这么来的，即：Voigt记法从9×9变为6×6时得到的）

于是得到：

考虑对称性，以及1）xyz方向的正应变之间耦合（想想泊松效应~） 2）正应变和切应变不耦合（也就是：切应变不会导致任何正应力）3）不同切应变之间不耦合（也就是：\varepsilon_{xy}只会导致\sigma_{xy}而不会导致\sigma_{xz},\sigma_{yz}

说句题外话：这里如果考虑FCC/BCC/HCP的弹性常数矩阵各自有多少个独立常数，就是晶体物理学的知识了，暂且按下不表挖个坑~

关于怎样计算各自独立的弹性常数，怎样在不同坐标系之间变换（晶体/地面坐标系），怎样画哪个很好看的各向异性小花花，又是一个坑~

回归主题：对于【弹性力学】常用的【各向同性】【小变形】【线弹性】，我们不妨先想想：《材料力学》学过的“广义胡克定律”

（为什么要想”应变={什么}应力”，而不是”应力={什么}应变”呢？），这是因为，”应变={什么}应力”更直观啊~

根据泊松比定义：单轴方向拉伸，另外两个方向应变负值除以单轴拉伸方向应变值；

那么：\varepsilon_{1}=\frac{1}{E}(\sigma_{1}-v(\sigma_2+\sigma_3))就是很顺理成章的了：将泊松比v作“权重”，又因为变形方向是相反的，所以\varepsilon_{1}=\frac{1}{E}(\sigma_{1}-v(\sigma_2+\sigma_3))！

对于剪切应变，公式很简单：（前面提过，剪切应变之间是不耦合的！）：

根据《材料力学》知识（如果你没学过，就先记住）：

杨氏模量，剪切模量和泊松比知2推3：

所以：广义胡克定律可以写作：

用MATLAB计算其逆矩阵

%%
fclose all; close all; clear; clc;

%%
syms v E;

B = 1/E *[  1,   -v,   -v,     0,      0,      0;
           -v,    1,   -v,     0,      0,      0;
           -v,   -v,    1,     0,      0,      0;
            0,    0,    0,  2*(1+v),   0,      0;
            0,    0,    0,     0,   2*(1+v),   0;
            0,    0,    0,     0,      0,   2*(1+v);];


C = inv(B);
pretty(C);

弹性力学】常用的【各向同性】【小变形】【线弹性】的弹性常数矩阵就得到啦！